Příklad navrhování dřevěného nosníku podle ČSN 73 1702

ČSN 73 1702 Navrhování, výpočet a posuzování dřevěných stavebních konstrukcí – Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby z prosince 2007 je modifikovaným překladem německé normy DIN 1052:2004. Modifikace se týká především normativních odkazů, které nejsou uvedeny jako normy DIN, ale jako odpovídající ČSN, popř. ČSN EN.

K této normě se připravuje komentář, rovněž jako modifikovaný překlad německých vysvětlivek (1). Se zaměřením na novou DIN 1052:2004 byla v Německu kromě toho vydána celá řada publikací, sbírek příkladů a výpočetních programů (např. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), které jsou vzhledem ke shodě ČSN 73 1702 s novou DIN 1052:2004 zpravidla vhodné i v našich podmínkách.

Norma je založena na spolehlivostní koncepci dílčích součinitelů (na jedné straně pro zatížení a na druhé straně pro odolnost materiálů) a princip navrhování včetně stanovení vnitřních sil a posuzování je v souladu s Eurokódem 5. Kromě toho byla ovšem zavedena ČSN EN 1995-1-1 Eurokód 5 s národní přílohou. Podobný postup byl použit kromě Německa také ve Švýcarsku, kde byla kromě Eurokódu 5 zavedena v r. 2003 národní norma SIA 265 /10/.

Posuzování konstrukčních prvků a spojů podle mezních stavů únosnosti je založeno na porovnávání zatížení E s odolností R. Jako porovnávací veličiny slouží napětí ve dřevě nebo v materiálech na bázi dřeva, popř. síly ve spojovacích prostředcích. Charakteristická zatížení podle norem pro zatížení se vynásobí dílčími součiniteli spolehlivosti zatížení. Na statickém systému se s těmito zatíženími vypočtou návrhové vnitřní síly (E_d), které se porovnávají s návrhovými hodnotami odolnosti (R_d). Tato odolnost je charakteristická hodnota pevnosti R_k vydělená dílčím součinitelem spolehlivosti pro pevnost γ_M a vynásobená modifikačním součinitelem k_mod:

 

E_d ≤ R_d = R _k ––––––––.

Vlastní tíhy a užitná, popř. nahodilá (proměnlivá) zatížení stanovená v normách pro zatížení (ČSN EN 1991-1-1 až -4) jsou charakteristické hodnoty, a je proto nutné je vynásobit příslušnými dílčími součiniteli spolehlivosti zatížení. Různá zatížení jsou většinou vlastní tíha g, užitné zatížení p, zatížení větrem w a zatížení sněhem s.

Pro uvedená zatížení vycházejí ve smyslu ČSN EN 1990 různé kombinace zatížení, které je třeba posoudit. Pro pozemní stavby se podle ČSN 73 1702, čl. 5.2 dovolují zjednodušená kombinační pravidla.

Použitelnost se ověřuje omezením deformací (průhybů) pro charakteristické hodnoty zatížení, tj. dílčí součinitele spolehlivosti zatížení se zavádějí jednotkovou hodnotou. Průhyby se vypočtou s průměrnými hodnotami modulů pružnosti (E_mean popř. G_mean). U mezního stavu použitelnosti se musí uvažovat vliv dotvarování, který se pro výpočet konečné deformace uvažuje součinitelem k_def(podle tabulky F.2 ČSN 73 1702).

Konečná deformace účinkem stálých zatížení se vypočítá ze vztahu:

 

w_{G, fin} = w _{G, inst}(1+k _def).

 

Pro posuzování použitelnosti účinkem proměnných (nahodilých) zatížení se uvažují tyto kombinace zatížení (podle EN 1990, 6.5.3, viz též 13):

Charakteristická (přechodná) kombinace (pro zamezení poruch na příčkách, instalacích, obkladech apod.):

 

E_d  = ∑ G_{k, j}+ Q_{k, 1}+ ∑ ψ_{0, i} . Q_{k, i}.

        j ≥ 1      i > 1

 

E_d  = ∑ G_{k, j}+ ψ_{1, 1}Q_{k, 1}+ ∑ ψ_{2, i} . Q_{k, i}.

        j ≥ 1             i ≥ 1

 

E_d  = ∑ G_{k, j}+ ∑ ψ_{2 i} . Q_{k, i}.

 

G_{k, j} je charakteristická hodnota stálých zatížení,

Q_{k, 1} je charakteristická hodnota hlavního proměnného (nahodilého) zatížení,

Q_{k, j} je charakteristická hodnota proměnného (nahodilého) zatížení,

ψ je součinitel kombinace zatížení.

 

Konečná deformace účinkem proměnných zatížení se stanoví podle ČSN 73 1702, 8.3 (8).

 

Mezní hodnoty deformací se stanoví dohodou podle předpokládaného používání nosné konstrukce. V ČSN 73 1702 jsou doporučeny (pro nosníky na dvou podporách) tyto mezní hodnoty:

● průhyb v charakteristických (přechodných) návrhových situacích:

 

w_{Q, inst} ≤ l/300 a w_fin − w_{G, inst} ≤ l/200.

 

● průhyb v kvazistálých návrhových situacích:

 

w_fin – w₀ ≤ l/200.

 

 

Má se dimenzovat prostý nosník z rostlého dřeva při rovnoměrném zatížení (obr. 1).

Rostlé dřevo C24, rozpětí l = 4,0 m, vzdálenost nosníků e = 0,9 m.

Při dimenzování nosníků se musí ověřit vedle napětí v ohybu a napětí ve smyku za ohybu také deformace (včetně dotvarování). Nosníky bez kontinuálního bočního zajištění mohou být ohroženy klopením a musí být v tomto ohledu ověřeny. Kmitání nosníků se vyšetřuje prostřednictvím omezení deformace.

Poznámka: Posouzení tlaku kolmo k vláknům v uložení není v tomto příkladu uvedeno.

 

● Třída trvání zatížení střednědobé (obytný prostor), třída použití 2;

● Modifikační součinitel:

 

k_mod = 0,8.

 

● Dílčí součinitel spolehlivosti materiálu:

 

γ_M = 1,3 (dřevo a materiály na bázi dřeva).

● Součinitel deformace:

 

k_def = 0,8.

 

● Součinitel kombinace zatížení:

ψ_{2, 1} = 0,3 (viz ČSN EN 1990, tabulka A1.1).

 

● Charakteristická pevnost v ohybu:

f_{m, k =} 24,0 N/mm².

 

● Návrhová hodnota pevnosti v ohybu:

               k_mod                       0,8

    f_{m, d} = ––––– f_{m, k =} ––––– . 24,0 = 14,8 N/mm².

               γ_M                            1,3

● Charakteristická pevnost ve smyku za ohybu:

 

● Návrhová hodnota pevnosti ve smyku za ohybu:

 

              k_mod                      0,8

    f_{v, d} = ––––– f_{v, k =} ––––– . 2,0 = 1,23 N/mm².

               γ_M                         1,3

● Modul pružnosti:

 

● Únosnost:

Stálá zatížení − G_k = 1,63 kN/m²,

Užitná zatížení − Q_k = 2,0 kN/m².

 

● Kombinace návrhových zatížení (viz ČSN 73 1702, vztah 1):

 

E_d  = ∑ γ_{G, j}G_{k, j}+ 1,5Q_{k, 1},

       j ≥ 1

 

 

● Dotvarování a kmitání:

 

E_{d, perm} = G _k + ψ_{2, 1} . Q_k = [1,63 + 0,3 . 2,0] . 0,9 = 2,01 kN/m.

 

● Pružný průhyb:

 

E_{d, inst} = G _k + Q_k = [1,63 + 2,0] . 0,9 = 3,27 kN/m.

 

● Podporové reakce:

 

                       E_dl         4, 68 . 4,0

● Ohybový moment:

 

         E_d l²      4,68 . 4,0²

Předběžné dimenzování: zvolena šířka nosníku b = 10 cm

 

● Z podmínky únosnosti:

                M_d                                     M_d . 6

f_{m, d}= –––––––––    h_požadované = √ ––––––– =

               bh²/6                                f_{m, d} . b

         936 . 6

 

 

● Z podmínky vlastní frekvence:

standardní kritérium (doporučené) f ≥ 7,2 Hz (podle /1/)

 

                     ₃         f² E_{d, perm}l⁴     

h_požadované  = √ ––––––––––––––– =

                          200 –––––– E b

              ₃  7,22 . 0,0178 . 4004

● Z podmínky průhybu ze vztahu:

 

                 5 E_{d, inst}l⁴                       5 E_{d, inst}l⁴

                 384 E_mean l                 b h³

                                 384 E_mean –––––

                     ₃       300 . 12 . 5 E_d l⁴  

                  384 E_mean b d       

 

Pro tento příklad se uvažuje pro posouzení průřez b/h = 10/22 cm – C24.

● Pevnost v ohybu:

 

      σ_{m, y, d}              σ_{m, z, d}         

    ––––––– + k_red ––––––– ≤ 1,

       f_{m, y, d}              f_{m, z, d}

            σ_{m, y, d}       σ_{m, z, d}

a k_red ––––––– + ––––––– ≤ 1,

           f_{m, y, d}               f _{m, z, d}

σ_{m, z, d} = 0 (nepůsobí ohyb ke dvěma osám)

 

           ––––    –––––––––––

f_{m, y, d}    f_{m, y, d}     14,8

 

ČSN 73 1702 uvádí pro deformace, které nejsou rozhodující pro únosnost, pouze doporučené mezní hodnoty. Požadované mezní hodnoty musí být smluvně dohodnuty.

Doporučené hodnoty podle ČSN 73 1702:

w_{Q, inst} ≤ l/300 (charakteristická návrhová situace),

w_fin – w_{G, inst} ≤ l/200 (charakteristická návrhová situace),

w_fin – w₀ ≤ l/200 (kvazistálá návrhová situace),

                  5 Q_d l⁴

                 384 E_mean l

                5 G_d l⁴

              384 E_mean l

w_fin =  w_{G, fin} + w_{Q, 1, fin},

 

w_{G, fin} = w _{G, inst} (1 + k_def) = 

w_{Q, 1, fin} = w _{Q, 1, inst} (1 + ψ_{2, 1}k_def ) = 

 

w_fin =  w_{G, fin} + w_{Q, 1, fin} = 

= l/300 (vyhovuje),

 

w_fin – w_{G, inst} = 16,8 – 5,10 = 

= 11,7 mm ≤ 20 mm = l/200 (vyhovuje),

 

w_fin – w₀ ≤ l/200 (kvazistálá návrhová situace),

 

w_{Q, 1, fin} = ψ _{2, 1}w_{Q, 1, inst} (1 + k _def) = 

 

w_fin =  w_{G, fin} + w_{Q, 1, fin} = 

 

w_fin – w₀ = 16,8 – 0 = 

= 16,8 mm ≤ 20 mm = l/200 (vyhovuje).

 

w =  w_{G, inst} + ψ_{2, 1}w_{Q, 1, inst} ≤ 6,0 mm (podle ČSN 73 1702, 9.3, vztah 2),

w = 5,10 + 0,3 . 6,15 = 6,95 ≥ 6,0 mm (nosník nevyhovuje na kmitání),

 

 

w _{Q, inst} = 6,15 . –––––– = 4,73 mm,

w = 3,93 + 0,3 . 4,73 = 5,35 mm ≤ 6,0 mm (průřez vyhovuje).

 

 

–––––––––– ≤ 1.

 k_m f_{m, y , d}

 

Pro nosníky s obdélníkovým průřezem a

  l_ef h

––––––– ≤ 140 lze dosadit km = 1,0,

tj. posouzení na klopení není nutné.

 l_ef h       440 . 24

 b²             10²

(tj. nosník není ohrožen klopením).

 

–––––– ≤ 1

                        V_d                   9360

 τ_d                 b . h              100 . 240

fv, d            fv, d               1,23

(nosník vyhovuje ve smyku za ohybu).

BOHUMIL KOŽELOUH

 

1) Blass, H. J. – Ehlbeck, J. – Kreuzinger, H. – Steck, G.: Erläuterungen zu DIN 1052:2004-08 Entwurf, Berechnung und Bemessung von Holzbauwerken. Deutsche Gesellschaft für Holzforschung, DGfH Innovations- und Service GMBH, München, 2004, 217 stran.

2) Holzbau – Taschenbuch. Band 3: Bemessungsbeispiele nach der neuen DIN 1052. Verlag Ernst & Sohn 2004, 383 stran.

3) Colling, F.: Holzbau – Beispiele. Musterlösungen, Formelsammlung, Bemessungstabellen. 2004, 174 stran.

4) Scheer, C.: Einführung in die Bemessung nach neuer DIN 1052. TU Berlin, Fachgebiet Baukonstruktionen Holz- und Mauerwerksbau, 03. 12. 2005, 35 stran.

5) Becker, K. – Blass, H. J.: Ingenieurholzbau nach DIN 1052. Einführung mit Beispielen. Wiley 2006, 486 stran.

6) Krämer, V. – Fritzen, K.: Für den Holzbau. Aufgaben und Lösungen nach DIN 1052. Bruderverlag 2007, 78 příkladů, 105 obrázků, 12 tabulek.

7) Steck, G.: 100 Holzbau-Beispiele. Werner Verlag, 2. vydání 2007, 324 stran.

8) Steck, G. – Nebgen, N.: Holzbau kompakt. Nach DIN 1052 neu. 2008, 249 stran.

9) HoB.Ex 2,0 Bemessung im Holzbau nach DIN 1052. Bruderverlag 2007. Software navrhování pro profesionály dřevěných konstrukcí.

10) Abacus – Programsystem für den wirtschaftlichen Holzbau DIN 1052:2004-08.

11) Schmidt, P.: DIN 1052 digital – Interaktive Bemessungshilfen. Beispiele. 1 CD-ROM a kniha ca 128 stran se sbírkou příkladů. Software Werner Verlag.

12) Mönck, W. – Rug, W.: Holzbau. Bemessung und Konstruktion. Huss-Verlag Berlin 2008.

13) Koželouh, B.: K posuzování prvků dřevěných konstrukcí podle ČSN 73 1702. Materiály pro stavbu 6/2008.